三角関数の逆数の積分

参照 > 微分積分学‎: 積分

説明

\(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx=x\sin^{-1}{(x)}+\sqrt{1-{x}^{2}}\)

\(\int \cos^{-1}{(x)} \, dx=x\cos^{-1}{(x)}-\sqrt{1-{x}^{2}}\)

\(\int \tan^{-1}{(x)} \, dx=x\tan^{-1}{(x)}-\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\)

\(\int \csc^{-1}{(x)} \, dx=x\csc^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\)

\(\int \sec^{-1}{(x)} \, dx=x\sec^{-1}{(x)}-\ln{(x+x\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}})}\)

\(\int \cot^{-1}{(x)} \, dx=x\cot^{-1}{(x)}+\frac{1}{2}\ln{(1+{x}^{2})}\)

\[\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\]
1
\(\int \sin^{-1}{(x)} \, dx\)に部分積分を使用する。
Let \(u=\sin^{-1}{(x)}\), \(dv=1\), \(du=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\), \(v=x\)

2
上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。
\[(\sin^{-1}{(x)})x-\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\]

3
\(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)に置換積分を使用する。
Let \(u=1-{x}^{2}\), \(du=-2x \, dx\), then \(x \, dx=-\frac{1}{2} \, du\)

4
上記の\(u\)と\(du\)を使用して,\(\int \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \, dx\)を書き直す。
\[\int -\frac{1}{2\sqrt{u}} \, du\]

5
定数倍の法則:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du\]

6
\(\frac{1}{\sqrt{x}}={x}^{-\frac{1}{2}}\)であるから,べき乗の計算を利用して,\(\int {x}^{-\frac{1}{2}} \, dx=2{x}^{\frac{1}{2}}\)
\[-\sqrt{u}\]

7
\(u=1-{x}^{2}\)を元の積分に戻す。
\[-\sqrt{1-{x}^{2}}\]

8
完了した置換で積分を書き直す。
\[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}\]

9
定数を追加する。
\[(\sin^{-1}{(x)})x+\sqrt{1-{x}^{2}}+C\]

完了

も参照してください