Problema de la Semana

Actualizado a la Sep 9, 2013 8:53 AM

Esta semana tenemos otro calculus problema:

¿Cómo podemos resolver la integral de \(\tan^{3}x\)?

¡Vamos a empezar!



\[\int \tan^{3}x \, dx\]

1
Usa Identidades Pitagóricas: \(\tan^{2}x=\sec^{2}x-1\).
\[\int (\sec^{2}x-1)\tan{x} \, dx\]

2
Expandir.
\[\int \tan{x}\sec^{2}x-\tan{x} \, dx\]

3
Usa Regla de la Suma: \(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\).
\[\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx-\int \tan{x} \, dx\]

4
Usa Integración por Sustitución en \(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\).
Let \(u=\tan{x}\), \(du=\sec^{2}x \, dx\)

5
Usando \(u\) y \(du\) como ves arriba, reescribe \(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\).
\[\int u \, du\]

6
Usa Regla del Exponente: \(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\).
\[\frac{{u}^{2}}{2}\]

7
Sustituye \(u=\tan{x}\) de nuevo en la integral original.
\[\frac{\tan^{2}x}{2}\]

8
Reescribe la integral con la sustitución completada.
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\int \tan{x} \, dx\]

9
Usa Integración Trigonométrica: La integral de \(\tan{x}\) es \(\ln{(\sec{x})}\).
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}\]

10
Añade la constante.
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}+C\]

Hecho
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