本週的问题

更新于Sep 9, 2013 8:53 AM

本週我们又遇到了calculus问题：

我们如何解决\(\tan^{3}x\)的积分？

开始吧！



\[\int \tan^{3}x \, dx\]

1
使用Pythagorean恆等式：\(\tan^{2}x=\sec^{2}x-1\)。
\[\int (\sec^{2}x-1)\tan{x} \, dx\]

2
扩展。
\[\int \tan{x}\sec^{2}x-\tan{x} \, dx\]

3
使用求和法则：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx-\int \tan{x} \, dx\]

4
在\(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\)上使用换元积分法。
Let \(u=\tan{x}\), \(du=\sec^{2}x \, dx\)

5
使用上面的\(u\)和\(du\)，重写\(\int \tan{x}\sec^{2}x \, dx\)。
\[\int u \, du\]

6
使用指数法则：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[\frac{{u}^{2}}{2}\]

7
将\(u=\tan{x}\)代回原本的积分。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}\]

8
用完成的代回重写积分。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\int \tan{x} \, dx\]

9
使用三角积分法: \(\tan{x}\)的积分是\(\ln{(\sec{x})}\)。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}\]

10
添加常量。
\[\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln{(\sec{x})}+C\]

完成
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