換元積分法

參考 > 微積分學: 積分法

描述

一種積分法,通過根據不同變數重寫函數來簡化函數。目標是將積分轉換為更容易解決的積分。它是微分學中鏈法則的反轉。

所使用的新變數通常是\(u\),因此這種方法也被稱為“U-代回”。


例子
\[\int (\sin{({x}^{2})})x \, dx\]
1
重新組合項目。
\[\int x\sin{({x}^{2})} \, dx\]

2
使用換元積分法
Let \(u={x}^{2}\), \(du=2x \, dx\), then \(x \, dx=\frac{1}{2} \, du\)

3
使用上面的\(u\)和\(du\),重寫\(\int x\sin{({x}^{2})} \, dx\)。
\[\int \frac{\sin{u}}{2} \, du\]

4
使用常數因數法則:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{1}{2}\int \sin{u} \, du\]

5
使用三角積分法: \(\sin{u}\)的積分是\(-\cos{u}\)。
\[-\frac{\cos{u}}{2}\]

6
將\(u={x}^{2}\)代回原本的積分。
\[-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}\]

7
添加常量。
\[-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}+C\]

完成