换元积分法

参考 > 微积分学: 积分法

描述

一种积分法,通过根据不同变数重写函数来简化函数。目标是将积分转换为更容易解决的积分。它是微分学中链法则的反转。

所使用的新变数通常是\(u\),因此这种方法也被称为“U-代回”。


例子
\[\int (\sin{({x}^{2})})x \, dx\]
1
重新组合项目。
\[\int x\sin{({x}^{2})} \, dx\]

2
使用换元积分法
Let \(u={x}^{2}\), \(du=2x \, dx\), then \(x \, dx=\frac{1}{2} \, du\)

3
使用上面的\(u\)和\(du\),重写\(\int x\sin{({x}^{2})} \, dx\)。
\[\int \frac{\sin{u}}{2} \, du\]

4
使用常数因数法则:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{1}{2}\int \sin{u} \, du\]

5
使用三角积分法: \(\sin{u}\)的积分是\(-\cos{u}\)。
\[-\frac{\cos{u}}{2}\]

6
将\(u={x}^{2}\)代回原本的积分。
\[-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}\]

7
添加常量。
\[-\frac{\cos{({x}^{2})}}{2}+C\]

完成