指數換元法

參考 > 微積分學: 積分法

描述

一種積分法,它用一個整數指數代回方根,使積分法更容易在這個表達式上使用。

例如,如果\(\frac{{x}^{1}}{4}\)在函數中,我們將\(x={u}^{4}\)。


例子
\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use 指數換元法
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={({u}^{2}-5)}^{2}\), and \(dx=4u({u}^{2}-5) \, du\)

2
從上面代回變數。
\[\int u\times 4u({u}^{2}-5) \, du\]

3
使用常數因數法則:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[4\int {u}^{2}({u}^{2}-5) \, du\]

4
展開\({u}^{2}({u}^{2}-5)\)。
\[4\int {u}^{4}-5{u}^{2} \, du\]

5
使用指數法則:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[4(\frac{{u}^{5}}{5}-\frac{5{u}^{3}}{3})\]

6
擴展。
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

7
將\(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\)代回原本的積分。
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

8
添加常量。
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

完成