指數換元法

參考 > 微積分學: 積分法

描述

一種積分法，它用一個整數指數代回方根，使積分法更容易在這個表達式上使用。

例如，如果\(\frac{{x}^{1}}{4}\)在函數中，我們將\(x={u}^{4}\)。


例子
\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use 指數換元法.
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={u}^{4}-10{u}^{2}+25\), and \(dx=4{u}^{3}-20u \, du\)

2
擴展。
\[\int 4{u}^{4}-20{u}^{2} \, du\]

3
使用指數法則：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

4
將\(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\)代回原本的積分。
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

5
添加常量。
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

完成

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