今週の問題

Feb 10, 2014 3:33 PMに更新

今週はもう一題 calculus の問題があります：

どのように\(\cot^{3}x\)の積分を見つけることができますか？

さあやってみましょう！



\[\int \cot^{3}x \, dx\]

1
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)を使用する。
\[\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx\]

2
展開。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx\]

3
和の積分：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)を使用する。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

4
三角関数を簡易化する。
\[\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

5
\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)に置換積分を使用する。
Let \(u=\sin{x}\), \(du=\cos{x} \, dx\)

6
上記の\(u\)と\(du\)を使用して，\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)を書き直す。
\[\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du\]

7
べき乗の計算：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)を使用する。
\[-\frac{1}{2{u}^{2}}\]

8
\(u=\sin{x}\)を元の積分に戻す。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}\]

9
完了した置換で積分を書き直す。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx\]

10
三角関数の積分を使用する: \(\cot{x}\)の積分は\(\ln{(\sin{x})}\)。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}\]

11
定数を追加する。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C\]

完了
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