本週的问题

更新于Feb 10, 2014 3:33 PM

本週我们又遇到了calculus问题：

我们怎样才能找\(\cot^{3}x\)的积分？

开始吧！



\[\int \cot^{3}x \, dx\]

1
使用Pythagorean恆等式：\(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\)。
\[\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx\]

2
扩展。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx\]

3
使用求和法则：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

4
简化三角函数。
\[\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

5
在\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)上使用换元积分法。
Let \(u=\sin{x}\), \(du=\cos{x} \, dx\)

6
使用上面的\(u\)和\(du\)，重写\(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\)。
\[\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du\]

7
使用指数法则：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[-\frac{1}{2{u}^{2}}\]

8
将\(u=\sin{x}\)代回原本的积分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}\]

9
用完成的代回重写积分。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx\]

10
使用三角积分法: \(\cot{x}\)的积分是\(\ln{(\sin{x})}\)。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}\]

11
添加常量。
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C\]

完成
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