Problema de la Semana

Actualizado a la Feb 10, 2014 3:33 PM

Esta semana tenemos otro calculus problema:

¿Cómo podemos encontrar la integral de \(\cot^{3}x\)?

¡Vamos a empezar!



\[\int \cot^{3}x \, dx\]

1
Usa Identidades Pitagóricas: \(\cot^{2}x=\csc^{2}x-1\).
\[\int (\csc^{2}x-1)\cot{x} \, dx\]

2
Expandir.
\[\int \cot{x}\csc^{2}x-\cot{x} \, dx\]

3
Usa Regla de la Suma: \(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\).
\[\int \cot{x}\csc^{2}x \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

4
Simplifica las funciones trigonométricas.
\[\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx-\int \cot{x} \, dx\]

5
Usa Integración por Sustitución en \(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\).
Let \(u=\sin{x}\), \(du=\cos{x} \, dx\)

6
Usando \(u\) y \(du\) como ves arriba, reescribe \(\int \frac{\cos{x}}{\sin^{3}x} \, dx\).
\[\int \frac{1}{{u}^{3}} \, du\]

7
Usa Regla del Exponente: \(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\).
\[-\frac{1}{2{u}^{2}}\]

8
Sustituye \(u=\sin{x}\) de nuevo en la integral original.
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}\]

9
Reescribe la integral con la sustitución completada.
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\int \cot{x} \, dx\]

10
Usa Integración Trigonométrica: La integral de \(\cot{x}\) es \(\ln{(\sin{x})}\).
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}\]

11
Añade la constante.
\[-\frac{1}{2\sin^{2}x}-\ln{(\sin{x})}+C\]

Hecho
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