部分積分

参照 > 微分積分学‎: 積分

説明

以下を使用して2つの関数の積の積分を変換する積分の方法：

\(\int u \, dv=uv-\int v \, d u\)
積分を解きやすい形に変換します。微分の積の法則の逆です。


例

例 1

\[\int x{e}^{x} \, dx\]
1
\(\int x{e}^{x} \, dx\)に部分積分を使用する。
Let \(u=x\), \(dv={e}^{x}\), \(du=dx\), \(v={e}^{x}\)

2
上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。
\[x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx\]

3
\({e}^{x}\)の積分は\({e}^{x}\)。
\[x{e}^{x}-{e}^{x}\]

4
定数を追加する。
\[x{e}^{x}-{e}^{x}+C\]

完了


 

例 2

\[\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\]
1
\(\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\)に部分積分を使用する。
Let \(u=\ln{x}\), \(dv=\frac{1}{{x}^{5}}\), \(du=\frac{1}{x} \, dx\), \(v=-\frac{1}{4{x}^{4}}\)

2
上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx\]

3
定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx\]

4
べき乗の計算：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)を使用する。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}\]

5
定数を追加する。
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C\]

完了


 

例 3

\[\int x\cos{(3x)} \, dx\]
1
\(\int x\cos{3x} \, dx\)に部分積分を使用する。
Let \(u=x\), \(dv=\cos{3x}\), \(du=dx\), \(v=\frac{\sin{3x}}{3}\)

2
上記を\(uv-\int v \, du\)に代入する。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\int \frac{\sin{3x}}{3} \, dx\]

3
定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int \sin{3x} \, dx\]

4
\(\int \sin{3x} \, dx\)に置換積分を使用する。
Let \(u=3x\), \(du=3 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{3} \, du\)

5
上記の\(u\)と\(du\)を使用して，\(\int \sin{3x} \, dx\)を書き直す。
\[\int \frac{\sin{u}}{3} \, du\]

6
定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[\frac{1}{3}\int \sin{u} \, du\]

7
三角関数の積分を使用する: \(\sin{u}\)の積分は\(-\cos{u}\)。
\[-\frac{\cos{u}}{3}\]

8
\(u=3x\)を元の積分に戻す。
\[-\frac{\cos{3x}}{3}\]

9
完了した置換で積分を書き直す。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}\]

10
定数を追加する。
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}+C\]

完了


 
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