Integración por Partes

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Descripción

Un método de integración que transforma la integral de un producto de dos funciones utilizando lo siguiente:

\(\int u \, dv=uv-\int v \, d u\)
El objetivo es transformar la integral en otra forma que sea más fácil de resolver. Es la inversa de la regla del productos en la diferenciación.


Ejemplos

Ejemplo 1 [Arriba]

\[\int x{e}^{x} \, dx\]
1
Usa Integración por Partes en \(\int x{e}^{x} \, dx\).
Let \(u=x\), \(dv={e}^{x}\), \(du=dx\), \(v={e}^{x}\)

2
Sustituye lo anterior en \(uv-\int v \, du\).
\[x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx\]

3
La integral de \({e}^{x}\) es \({e}^{x}\).
\[x{e}^{x}-{e}^{x}\]

4
Añade la constante.
\[x{e}^{x}-{e}^{x}+C\]

Hecho


 

Ejemplo 2 [Arriba]

\[\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\]
1
Usa Integración por Partes en \(\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\).
Let \(u=\ln{x}\), \(dv=\frac{1}{{x}^{5}}\), \(du=\frac{1}{x} \, dx\), \(v=-\frac{1}{4{x}^{4}}\)

2
Sustituye lo anterior en \(uv-\int v \, du\).
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx\]

3
Usa Regla del Factor Constante: \(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\).
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx\]

4
Usa Regla del Exponente: \(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\).
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}\]

5
Añade la constante.
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C\]

Hecho


 

Ejemplo 3 [Arriba]

\[\int x\cos{(3x)} \, dx\]
1
Usa Integración por Partes en \(\int x\cos{3x} \, dx\).
Let \(u=x\), \(dv=\cos{3x}\), \(du=dx\), \(v=\frac{\sin{3x}}{3}\)

2
Sustituye lo anterior en \(uv-\int v \, du\).
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\int \frac{\sin{3x}}{3} \, dx\]

3
Usa Regla del Factor Constante: \(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\).
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int \sin{3x} \, dx\]

4
Usa Integración por Sustitución en \(\int \sin{3x} \, dx\).
Let \(u=3x\), \(du=3 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{3} \, du\)

5
Usando \(u\) y \(du\) como ves arriba, reescribe \(\int \sin{3x} \, dx\).
\[\int \frac{\sin{u}}{3} \, du\]

6
Usa Regla del Factor Constante: \(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\).
\[\frac{1}{3}\int \sin{u} \, du\]

7
Usa Integración Trigonométrica: La integral de \(\sin{u}\) es \(-\cos{u}\).
\[-\frac{\cos{u}}{3}\]

8
Sustituye \(u=3x\) de nuevo en la integral original.
\[-\frac{\cos{3x}}{3}\]

9
Reescribe la integral con la sustitución completada.
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}\]

10
Añade la constante.
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}+C\]

Hecho