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べき乗の置換積分説明 積分が難しいn次の指数を置き換えることが目的です。 たとえば，\(\sqrt[4]{x}\)が関数内にある場合，\(x={u}^{4}\)とします。 |
例 \[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\] 1 Use べき乗の置換積分. Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={u}^{4}-10{u}^{2}+25\), and \(dx=4{u}^{3}-20u \, du\) 2 展開。 \[\int 4{u}^{4}-20{u}^{2} \, du\] 3 べき乗の計算：\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)を使用する。 \[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\] 4 \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\)を元の積分に戻す。 \[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\] 5 定数を追加する。 \[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\] 完了  |