べき乗の置換積分

参照 > 微分積分学‎: 積分

説明
積分が難しいn次の指数を置き換えることが目的です。

たとえば,\(\sqrt[4]{x}\)が関数内にある場合,\(x={u}^{4}\)とします。


\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use べき乗の置換積分
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={({u}^{2}-5)}^{2}\), and \(dx=4u({u}^{2}-5) \, du\)

2
上の変数を代入する。
\[\int u\times 4u({u}^{2}-5) \, du\]

3
定数倍の法則:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[4\int {u}^{2}({u}^{2}-5) \, du\]

4
\({u}^{2}({u}^{2}-5)\)を展開。
\[4\int {u}^{4}-5{u}^{2} \, du\]

5
べき乗の計算:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)を使用する。
\[4(\frac{{u}^{5}}{5}-\frac{5{u}^{3}}{3})\]

6
展開。
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

7
\(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\)を元の積分に戻す。
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

8
定数を追加する。
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

完了

も参照してください