分部积分法

参考 > 微积分学: 积分法

描述

一种积分法,使用以下方法转换两个函数的乘积的积分:

\(\int u \, dv=uv-\int v \, d u\)
目标是将积分转换为更容易解决的另一种形式。它是微分学中乘积法则的反转。


例子

例子 1 [上面]

\[\int x{e}^{x} \, dx\]
1
在\(\int x{e}^{x} \, dx\)上使用分部积分法
Let \(u=x\), \(dv={e}^{x}\), \(du=dx\), \(v={e}^{x}\)

2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)
\[x{e}^{x}-\int {e}^{x} \, dx\]

3
\({e}^{x}\)的积分是\({e}^{x}\)
\[x{e}^{x}-{e}^{x}\]

4
添加常量
\[x{e}^{x}-{e}^{x}+C\]

完成


 

例子 2 [上面]

\[\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\]
1
在\(\int \frac{\ln{x}}{{x}^{5}} \, dx\)上使用分部积分法
Let \(u=\ln{x}\), \(dv=\frac{1}{{x}^{5}}\), \(du=\frac{1}{x} \, dx\), \(v=-\frac{1}{4{x}^{4}}\)

2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\int -\frac{1}{4{x}^{5}} \, dx\]

3
使用常数因数法则:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}+\frac{1}{4}\int \frac{1}{{x}^{5}} \, dx\]

4
使用指数法则:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}\]

5
添加常量
\[-\frac{\ln{x}}{4{x}^{4}}-\frac{1}{16{x}^{4}}+C\]

完成


 

例子 3 [上面]

\[\int x\cos{(3x)} \, dx\]
1
在\(\int x\cos{3x} \, dx\)上使用分部积分法
Let \(u=x\), \(dv=\cos{3x}\), \(du=dx\), \(v=\frac{\sin{3x}}{3}\)

2
将上述内容代回\(uv-\int v \, du\)
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\int \frac{\sin{3x}}{3} \, dx\]

3
使用常数因数法则:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)
\[\frac{x\sin{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int \sin{3x} \, dx\]

4
在\(\int \sin{3x} \, dx\)上使用换元积分法
Let \(u=3x\), \(du=3 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{3} \, du\)

5
使用上面的\(u\)和\(du\),重写\(\int \sin{3x} \, dx\)
\[\int \frac{\sin{u}}{3} \, du\]

6
使用常数因数法则:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)
\[\frac{1}{3}\int \sin{u} \, du\]

7
\(\sin{u}\)的积分是\(-\cos{u}\)
\[-\frac{\cos{u}}{3}\]

8
将\(u=3x\)代回原本的积分
\[-\frac{\cos{3x}}{3}\]

9
用完成的代回重写积分
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}\]

10
添加常量
\[\frac{x\sin{3x}}{3}+\frac{\cos{3x}}{9}+C\]

完成