指数换元法

参考 > 微积分学: 积分法

描述

一种积分法,它用一个整数指数代回方根,使积分法更容易在这个表达式上使用。

例如,如果\(\frac{{x}^{1}}{4}\)在函数中,我们将\(x={u}^{4}\)。


例子
\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use 指数换元法
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={({u}^{2}-5)}^{2}\), and \(dx=4u({u}^{2}-5) \, du\)

2
从上面代回变数。
\[\int u\times 4u({u}^{2}-5) \, du\]

3
使用常数因数法则:\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[4\int {u}^{2}({u}^{2}-5) \, du\]

4
展开\({u}^{2}({u}^{2}-5)\)。
\[4\int {u}^{4}-5{u}^{2} \, du\]

5
使用指数法则:\(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\)。
\[4(\frac{{u}^{5}}{5}-\frac{5{u}^{3}}{3})\]

6
扩展。
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

7
将\(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\)代回原本的积分。
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

8
添加常量。
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

完成