Sustitución de Exponente

Referencia > Cálculo: Integración

Descripción

Un método de integración que tiene como objetivo sustituir a las raíces enésimas en una función - que son difíciles de integrar - con potencias enteras que pueden ser integradas fácilmente.

Por ejemplo, si \(\sqrt[4]{x}\) está en la función, vamos a hacer que \(x={u}^{4}\).


Ejemplos
\[\int \sqrt{5+\sqrt{x}} \, dx\]
1
Use Sustitución de Exponente
Let \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\), \(x={({u}^{2}-5)}^{2}\), and \(dx=4u({u}^{2}-5) \, du\)

2
Sustituye las variables anteriores.
\[\int u\times 4u({u}^{2}-5) \, du\]

3
Usa Regla del Factor Constante: \(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\).
\[4\int {u}^{2}({u}^{2}-5) \, du\]

4
Expande \({u}^{2}({u}^{2}-5)\).
\[4\int {u}^{4}-5{u}^{2} \, du\]

5
Usa Regla del Exponente: \(\int {x}^{n} \, dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C\).
\[4(\frac{{u}^{5}}{5}-\frac{5{u}^{3}}{3})\]

6
Expandir.
\[\frac{4{u}^{5}}{5}-\frac{20{u}^{3}}{3}\]

7
Sustituye \(u=\sqrt{5+\sqrt{x}}\) de nuevo en la integral original.
\[\frac{4{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{5}}{5}-\frac{20{\sqrt{5+\sqrt{x}}}^{3}}{3}\]

8
Añade la constante.
\[\frac{4{(5+\sqrt{x})}^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{20{(5+\sqrt{x})}^{\frac{3}{2}}}{3}+C\]

Hecho