三角換元法

參考 > 微積分學: 積分法

描述

一種積分法，它用三角形標識來簡化包含根式表達式的某些積分。法則是：

如果函數包含\({a}^{2}-{x}^{2}\)，設\(x=a\sin{u}\)

如果函數包含\({a}^{2}+{x}^{2}\)，設\(x=a\tan{u}\)

如果函數包含\({x}^{2}-{a}^{2}\)，設\(x=a\sec{u}\)


例子
\[\int \frac{1}{\sqrt{25-{x}^{2}}} \, dx\]
1
Use 三角換元法
Let \(x=5\sin{u}\), \(dx=5\cos{u} \, du\)

2
從上面代回變數。
\[\int \frac{1}{\sqrt{25-{(5\sin{u})}^{2}}}\times 5\cos{u} \, du\]

3
簡化。
\[\int 1 \, du\]

4
使用此法則：\(\int a \, dx=ax+C\)。
\[u\]

5
從以上步驟，我們知道：
\[u=\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}\]

6
將上面代回原本的積分。
\[\sin^{-1}{(\frac{1}{5}x)}\]

7
添加常量。
\[\sin^{-1}{(\frac{x}{5})}+C\]

完成

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