今週の問題

Sep 2, 2013 4:27 PMに更新

どのように\(\cos^{2}x\)の積分を見つけることができますか？

以下はその解決策です。



\[\int \cos^{2}x \, dx\]

1
ﾋﾟﾀｺﾞﾗｽの定理：\(\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}\)を使用する。
\[\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

2
和の積分：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)を使用する。
\[\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

3
この定義を使用してください：\(\int a \, dx=ax+C\)。
\[\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

4
定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx\]

5
\(\int \cos{2x} \, dx\)に置換積分を使用する。
Let \(u=2x\), \(du=2 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{2} \, du\)

6
上記の\(u\)と\(du\)を使用して，\(\int \cos{2x} \, dx\)を書き直す。
\[\int \frac{\cos{u}}{2} \, du\]

7
定数倍の法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)を使用する。
\[\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du\]

8
三角関数の積分を使用する: \(\cos{u}\)の積分は\(\sin{u}\)。
\[\frac{\sin{u}}{2}\]

9
\(u=2x\)を元の積分に戻す。
\[\frac{\sin{2x}}{2}\]

10
完了した置換で積分を書き直す。
\[\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}\]

11
定数を追加する。
\[\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C\]

完了
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