本週的問題

更新於Sep 2, 2013 4:27 PM

我們怎樣才能找\(\cos^{2}x\)的積分？

以下是答案。



\[\int \cos^{2}x \, dx\]

1
使用Pythagorean恆等式：\(\cos^{2}x=\frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2}\)。
\[\int \frac{1}{2}+\frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

2
使用求和法則：\(\int f(x)+g(x) \, dx=\int f(x) \, dx+\int g(x) \, dx\)。
\[\int \frac{1}{2} \, dx+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

3
使用此法則：\(\int a \, dx=ax+C\)。
\[\frac{x}{2}+\int \frac{\cos{2x}}{2} \, dx\]

4
使用常數因數法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos{2x} \, dx\]

5
在\(\int \cos{2x} \, dx\)上使用換元積分法。
Let \(u=2x\), \(du=2 \, dx\), then \(dx=\frac{1}{2} \, du\)

6
使用上面的\(u\)和\(du\)，重寫\(\int \cos{2x} \, dx\)。
\[\int \frac{\cos{u}}{2} \, du\]

7
使用常數因數法則：\(\int cf(x) \, dx=c\int f(x) \, dx\)。
\[\frac{1}{2}\int \cos{u} \, du\]

8
使用三角積分法: \(\cos{u}\)的積分是\(\sin{u}\)。
\[\frac{\sin{u}}{2}\]

9
將\(u=2x\)代回原本的積分。
\[\frac{\sin{2x}}{2}\]

10
用完成的代回重寫積分。
\[\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}\]

11
添加常量。
\[\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C\]

完成
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